考慮(1-x)^n (x+1)^n 的展開：
(1-x)^n (x+1)^n
= [Σ_(k=0, k=n) nCk (-1)^k x^k]*[Σ_(k=0, k=n) nCk x^(n-k)] ----------(*)

(*)的x^(n-1)項為：
nC0 (-1)^0 x^0 * nC1 x^(n-1) + nC1 (-1)^1 x^1 * nC2 x^(n-2) +...+ nC(n-1) (-1)^(n-1) x^(n-1) * nCn x^0
=nC0 * nC1 * x^(n-1) - nC1 * nC2 * x^(n-2) +...+ (-1)^(n-1) * nC(n-1) * nCn * x^(n-1)
=[nC0 * nC1 - nC1 * nC2 +...+ (-1)^(n-1) * nC(n-1) * nCn] x^(n-1)

另一方面，將(1-x)^n (x+1)^n 組合再展開：
(1-x)^n (x+1)^n
=[(1-x)(1+x)]^n
=[1-x²]^n
=Σ_(k=0, k=n) nCk (-1)^k (x²)^k
=Σ_(k=0, k=n) nCk (-1)^k x^(2k) -------------(#)

由於(#)只有雙數指數項，而(*)與(#)是完全相同的，故此它們的x^(n-1)項亦完全相同。

所以如果n是雙數時，n-1是單數，但由於(#)沒有單數指數項，所以(*)的x^(n-1)項的系數為0，即：
nC0 * nC1 - nC1 * nC2 +...+ (-1)^(n-1) * nC(n-1) * nCn = 0

如果n是單數時，設n=2m+1，其中m是整數，，所以x^(n-1)項即x^(2m+1-1)項，即x^(2m)項，即：
nC0 * nC1 - nC1 * nC2 +...+ (-1)^(n-1) * nC(n-1) * nCn = nCm (-1)^m
如果將n=2m+1作移項，可得出m=(n-1)/2，故
nC0 * nC1 - nC1 * nC2 +...+ (-1)^(n-1) * nC(n-1) * nCn = nC[(n-1)/2] (-1)^[(n-1)/2]

希望可以幫倒你！^^